Seja z = f(x, y) , (x, y) pertence A , com A aberto. Suponha que ∂f/∂x e ∂f/∂y estão definidas em A e que (∂^2 f) / (∂x ∂y) e (∂^2 f) / (∂y ∂x) são contínuas em A . Seja (x_0, y_0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x_0, y_0) e contida em A . Sejam h e k tais que (x_0 + h, y_0 + k) pertença a B . Seja ainda

H(h, k) = f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0 + k) - f(x_0 + h, y_0) + f(x_0, y_0)

Considere as funções ϕ(t) = f(t, y_0 + k) - f(t, y_0) e ρ(s) = f(x_0 + h, s) - f(x_0, s) .

Prove: existem t_1 e s_1 , com t_1 entre x_0 e x_0 + h e s_1 entre y_0 e y_0 + k , tais que

H(h, k) = (∂^2 f / ∂y ∂x)(t_1, s_1) h k = ϕ(x_0 + h) - ϕ(x_0)

Passo 1

No item (a), mostramos que

H h , k = ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ρ y 0 + k - ρ ( y 0 )

Já no item (b), mostramos que existe t 1 entre x 0 e x 0 + h tal que

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ϕ ' t 1   h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Vamos partir dessa expressão! Consideremos

F s = ∂ f ∂ x ( t 1 ,   s )

Pelo teorema do valor médio, existe s 1 entre y 0 e y 0 + k tal que

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = F y 0 + k - F y 0 = F ' s 1   k

Passo 2

Note que

F ' s 1 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( t 1 , s 1 )

Logo,

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k

Portanto,

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k h

Resposta

Demonstração.

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