Enunciado

63-70. Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

65. f x ,   y ,   z = e x y z 2 ; f x y z

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

f x y z = ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem? Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok? Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 2

Descobrindo f x y z , teremos:

f x ,   y ,   z = e x y z 2

∂ f ∂ x = e x y z 2 . ln ⁡ e . x y z 2 ' = y z 2 . e x y z 2

∂ ² f ∂ y ∂ x = z 2 . e x y z 2 + y z 2 . e x y z 2 . ln ⁡ e . x z 2 = z 2 . e x y z 2 + x y . z 4 . e x y z 2

∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x = 2 z . e x y z 2 + z 2 . e x y z 2 . 2 x y z + x y 4 z 3 . e x y z 2 + z 4 . e x y z 2 . 2 x y z

∴ ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x = ( 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2 )

Por fim, só para sintetizar, temos que:

f x y z = ∂ ³ f ∂ z ∂ y ∂ x = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

Resposta

f x y z = 2 z . e x y z 2 + 6 x y z 3 . e x y z 2 + 2 x 2 y 2 z 5 . e x y z 2

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