Enunciado

63-70. Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

69. w = x y + 2 z ;   ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x ,   ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y

Passo 1

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

w x y z = ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x

w y x x = ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem? Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok? Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 2

Descobrindo w x y z , teremos:

w = x y + 2 z

∂ w ∂ x = 1 y + 2 z

∂ ² w ∂ y ∂ x = - 1 ( y + 2 z ) ²

∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x = 2 . y + 2 z - 3 . 2 = 4 y + 2 z 3

Descobrindo w y x x , teremos:

w = x y + 2 z

∂ w ∂ y = - x ( y + 2 z ) ²

∂ 2 w ∂ x ∂ y = - 1 y + 2 z 2

∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

Por fim, só para sintetizar, temos que:

w x y z = ∂ ³ w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

w y x x = ∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

Resposta

∂ 3 w ∂ z ∂ y ∂ x = 4 y + 2 z 3

∂ ³ w ∂ x ² ∂ y = 0

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