Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

9. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n 2 n n 3

Passo 1

Vamos aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L < 1 , a série será absolutamente convergente, e se L > 1 , será divergente.

Na série dada, ficamos com a seguinte razão:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 3 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) 3 - 1 n - 1 3 n 2 n n 3 = l i m n → ∞ - 1 n 3 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) 3 2 n n 3 - 1 n - 1 3 n

Simplificando 2 n e 3 n :

L = l i m n → ∞ 3 - 1 n 2 ( n + 1 ) 3 n 3 - 1 n - 1

E tirando do módulo, os termos com - 1 passam a ser 1 , e o limite fica:

L = l i m n → ∞ 3 n 3 2 ( n + 1 ) 3

Passo 2

Abrindo o polinômio de baixo para resolvermos o limite, ficamos com:

L = l i m n → ∞ 3 n 3 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 1 )

Botando n em evidência:

L = l i m n → ∞ 3 n 3 2 n ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) = L = l i m n → ∞ 3 n 3 2 n 3 ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n )

Simplificando n 3 :

l i m n → ∞ 3 2 ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n )

E aplicando o limite, os termos 1 n tendem para zero, sobrando:

L = 3 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = 3 2 = 1,5

Como L > 1 , a série será divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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