Enunciado

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .

11. z = e^r cos theta , r = s t , theta = sqrt(s^2 + t^2)

Passo 1

Para encontrarmos (del z)/(del s) e (del z)/(del t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(del z)/(del s) = (del z)/(del r) (del r)/(del s) + (del z)/(del theta) (del theta)/(del s)

(del z)/(del t) = (del z)/(del r) (del r)/(del t) + (del z)/(del theta) (del theta)/(del t)

As derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del s) são:

(del z)/(del r) = e^r cos theta

(del r)/(del s) = t

(del z)/(del theta) = - e^r s e n theta

(del theta)/(del s) = (1)/(2) . (s^2 + t^2)^(- (1)/(2)) . 2 s = (s)/(sqrt(s^2 + t^2))

E as derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del t) são:

(del z)/(del r) = e^r cos theta

(del r)/(del t) = s

(del z)/(del theta) = - e^r s e n theta

(del theta)/(del t) = (1)/(2) . (s^2 + t^2)^(- (1)/(2)) . 2 t = (t)/(sqrt(s^2 + t^2))

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para (del z)/(del s) :

(del z)/(del s) = e^r cos theta . t - e^r s e n theta . (s)/(sqrt(s^2 + t^2))

:. (del z)/(del s) = e^r (cos theta . t - s e n theta . (s)/(sqrt(s^2 + t^2)))

Para (del z)/(del t) :

(del z)/(del t) = e^r cos theta . s - e^r s e n theta . (t)/(sqrt(s^2 + t^2))

:. (del z)/(del t) = e^r (cos theta . s - s e n theta . (t)/(sqrt(s^2 + t^2)))

Resposta

(del z)/(del s) = e^r (cos theta . t - s e n theta . (s)/(sqrt(s^2 + t^2)))

(del z)/(del t) = e^r (cos theta . s - s e n theta . (t)/(sqrt(s^2 + t^2)))

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