Verificar a regra da cadeia para a função

f(x, y) = ln(xy), x = 2u^2 + v^4, y = 3u^2 + v^2

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

f u , v =   f x u , v , y u , v

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a u

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a v

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ x = 1 x

∂ f ∂ y = 1 y

∂ x ∂ u = 4 u

∂ x ∂ v = 4 v 3

∂ y ∂ u = 6 u

∂ y ∂ v =   2 v

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ u =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = 1 x ( 4 u ) + 1 y ( 6 u )

∂ z ∂ v =   ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

∂ z ∂ v =   1 x ( 4 v 3 ) + 1 y ( 2 v )

Deixando tudo em função dos parâmetros u e v

∂ z ∂ u = 1 2 u 2 + v 4 ( 4 u ) + 1 3 u 2 + v 2 ( 6 u )

∂ z ∂ v = 1 2 u 2 + v 4 ( 4 v 3 ) + 1 3 u 2 + v 2 ( 2 v )

Resposta

∂ z ∂ u = 1 2 u 2 + v 4 ( 4 u ) + 1 3 u 2 + v 2 ( 6 u )

∂ z ∂ v = 1 2 u 2 + v 4 ( 4 v 3 ) + 1 3 u 2 + v 2 ( 2 v )

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