Enunciado

81.Use a Lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura de um corpo num ambiente onde a temperatura é 40 ° , se 30min atrás a temperatura do corpo era 150 ° e 10min atrás era de 90 ° .

Passo 1

Neste exercício o enunciado nos pede para usarmos a Lei do resfriamento de Newton, assim para usarmos a mesma devemos atentar para as informações contidas no enunciado e escrever as condições de contorno corretas. Após um bom entendimento das condições de contorno e da aplicação da Lei chegamos ao resultado esperado.

Passo 2

Da lei do resfriamento de Newton temos:

d y d t = k y - 40

Onde K é uma constante e y > 40 para todo t ≥ 0 .

Escrevendo a equação na forma mais comum de uma equação diferencial:

d y d t - k y = - 40 k

Podemos observar que trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante. Assim, o fator integrante para a mesma é:

e ∫ - k d t = e - k t

Passo 3

Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante teremos:

e - k t . d y d t - e - k t k y = - e - k t . 40 k

e - k t . y ´ = - 40 k e - k t

Integrando ambos os membros da equação obtemos:

e - k t . y = 40 e - k t + C

y = 40 + C e k t

Passo 4

Aplicando as condições de contorno fornecida no enunciado, vem:

Quando t = 0 m i n , y = 150 ; assim, 110 = C . Logo,

y = 40 + 110 e k t

Quando t = 20 m i n , y = 90 ; assim, 90 = 40 + 110 e 20 k

e 20 k = 5 11

Assim, podemos escrever :

y = 40 + 110 . e 20 k t / 20

y = 40 + 110 . 5 11 t 20

Decorrido 30min a partir do momento que o corpo começou a resfriar, teremos:

y 30 = 40 + 110 5 11 30 / 20 = 74

Logo, após 30 min a temperatura do corpo será 74 ℃ .

Resposta

y 30 = 74 ℃

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