Enunciado

82-O objetivo deste exercício é estender a regra da potência (Teorema 2.3.2) a qualquer expoente inteiro. Seja f x = x n , em que n é um número inteiro. Se n > 0 , então f ´ x = n x n - 1 pelo Teorema 2.3.2

a)Mostre que a conclusão do Teorema 2.3.2 é válida no caso n = 0 .

b) Suponha que n < 0 e denote m = - n , de modo que

f x = x n = x - m = 1 x m

Use a Definição 2.2.1 e o Teorema 2.3.2 para mostrar que

d d x 1 x m = - m x m - 1 . 1 x 2 m

e conclua que f ´ x = n m n - 1

Passo 1

a)Galerinha, se n = 0 , temos:

f x = x 0

Pelo teorema 2.3.2:

f ´ x = 0 x 0 - 1 = 0 x = 0

Se lembramos que x 0 = 1 , pelo teorema 2.3.1:

d d x 1 = 0

Isso quer dizer que o teorema é válido para n = 0 .

Passo 2

b)Galerinha, pelo Teorema 2.2.1, temos:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = f ´ ( x )

Ok ?

Dessa forma,

lim h → 0 ⁡ x + h - m - x - m h

Como a soma dos limites é o limite da soma, podemos fazer isso aqui:

lim h → 0 ⁡ x + h - m h - lim h → 0 ⁡ x - m h

lim h → 0 ⁡ 1 x + h m h - lim h → 0 ⁡ 1 x m h

Tá bom... O limite continua uma droga hahahahha, mas acho que ele pode ficar menos pior se tentarmos deixar o denominador igual. Assim,

lim h → 0 ⁡ 1 ( x + h m h ) × x m × x m - lim h → 0 ⁡ 1 x m h × x + h m × x + h m

lim h → 0 ⁡ x m - x + h m h x m x + h m

Você pode estar pensando que essa foi a pior idéia que alguém poderia ter, porque o limite ficou cerca de 10000 vezes pior, maxxx pelo menos agora podemos usar o Teorema 2.3.2:

lim h → 0 ⁡ x m - [ x m + m x m - 1 h + m m - 1 2 ! x m - 2 h 2 + … + m x h m - 1 + h m ]   h x m x + h m

lim h → 0 ⁡ - [ m x m - 1 h + m m - 1 2 ! x m - 2 h 2 + … + m x h m - 1 + h m ]   h x m x + h m

lim h → 0 ⁡ - [ m x m - 1 + m m - 1 2 ! x m - 2 h + … + m x h h - 2 + h m - 1 ]   x m x + h m

lim h → 0 ⁡ - [ m x m - 1 + 0 + … + 0 + 0 ]   x m x + h m

Dessa forma,

f ´ x = - m x m - 1 x 2 m

Eu acho que a gente se saiu muito bem, né ?

Como m = - n , temos:

f ´ x = n x - n - 1 x - 2 n

f ´ x = n x n - 1

Fim!

Até a próxima questão, galera!!!!

Resposta

a)Demonstração acima.

b)Demonstração acima.

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