Enunciado

Achar a razão de variação do volume v de um cubo em relação ao comprimento de sua diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2   m / s , qual a razão de variação do volume quando a diagonal mede 3   m ?

Passo 1

Pessoal, mais uma questão de taxa de variação! Seja D a diagonal do cubo e x o seu lado. Lá da geometria elementar obtemos

D = 3 x

x = 1 3 D  

O volume do cubo é:

V = x 3 = 1 3 D 3

V = 1 3 3 D 3

Assim, a taxa de variação do volume é:

d V d D = 3 3 3 D 2

d V d D = D 2 3

No entanto, sabemos que d V d t = d V d D ⋅ d D d t . Assim,

d V d t = d V d D ⋅ d D d t = D 2 3 ⋅ 2

d V d t = 2 D 2 3

Quando D = 3 :

d V d t = 2 3 2 3

d V d t = 18 3   m 3 / s

Resposta

A taxa de variação do volume é:

d V d t = 18 3   m 3 / s

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