Ache f''(x) se f(x) = 3\*sen^2(x) - 4\*cos^2(x) .

Passo 1

Bom, o enunciado pede que a gente encontre a segunda derivada da função dada. Vamos precisar fazer a primeira derivada primeiro:

f ' x = d d x 3 s e n 2 x - 4 c o s 2 x

f ' x = d d x 3 s e n 2 x - d d x 4 c o s 2 x

Os dois termos que precisamos derivar vão precisar da Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora primeiro:

d d t 3 t 2 = 6 t

E então substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dessa função:

d d x 3 s e n 2 x = 6 s e n x d d x ( s e n x )

Ficaremos então com:

d d x 3 s e n 2 x = 6 s e n x c o s x

O segundo termo precisa do mesmo raciocínio:

d d x 4 c o s 2 x = 8 c o s x d d x ( c o s x )

Ficaremos com:

d d x 4 c o s 2 x = - 8 s e n x c o s x

Substituindo os resultados no início:

f ' ( x ) = d d x 3 s e n 2 x - 4 c o s 2 x = 6 s e n x c o s x + 8 s e n x c o s x

f ' ( x ) = 14 s e n x c o s x

Passo 2

Agora que já temos a primeira derivada, vamos precisar derivar o resultado para encontrarmos a segunda:

f ' ' ( x ) = d d x 14 s e n x c o s x

Precisaremos então aplicar a Regra do Produto, nossa derivada ficará:

d d x 14 s e n x c o s x = d d x 14 s e n x c o s x + 14 s e n x d d x c o s x

Podemos resolver as duas derivadas que apareceram diretamente, ficando com:

d d x 14 s e n x c o s x = 14 c o s x c o s x - 14 s e n x s e n x

Reescrevendo:

f ' ' x = 14 ( c o s 2 x - s e n 2 x )

Resposta

f ' ' x = 14 ( c o s 2 x - s e n 2 x )

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