Enunciado

Ache f " ( x ) se f (x) = 3 s e n^2 x - 4 c o s^2 x .

Passo 1

Bom, o enunciado pede que a gente encontre a segunda derivada da função dada. Vamos precisar fazer a primeira derivada primeiro:

f ' (x) = (d)/(d x) (3 s e n^2 x - 4 c o s^2 x)

f ' (x) = (d)/(d x) (3 s e n^2 x) - (d)/(d x) (4 c o s^2 x)

Os dois termos que precisamos derivar vão precisar da Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora primeiro:

(d)/(d t) (3 t^2) = 6 t

E então substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dessa função:

(d)/(d x) (3 s e n^2 x) = 6 s e n x (d)/(d x) ( s e n x )

Ficaremos então com:

(d)/(d x) (3 s e n^2 x) = 6 s e n x c o s x

O segundo termo precisa do mesmo raciocínio:

(d)/(d x) (4 c o s^2 x) = 8 c o s x (d)/(d x) ( c o s x )

Ficaremos com:

(d)/(d x) (4 c o s^2 x) = - 8 s e n x c o s x

Substituindo os resultados no início:

f ' ( x ) = (d)/(d x) (3 s e n^2 x - 4 c o s^2 x) = 6 s e n x c o s x + 8 s e n x c o s x

f ' ( x ) = 14 s e n x c o s x

Passo 2

Agora que já temos a primeira derivada, vamos precisar derivar o resultado para encontrarmos a segunda:

f ' ' ( x ) = (d)/(d x) (14 s e n x c o s x)

Precisaremos então aplicar a Regra do Produto, nossa derivada ficará:

(d)/(d x) (14 s e n x c o s x) = (d)/(d x) (14 s e n x) c o s x + 14 s e n x (d)/(d x) (c o s x)

Podemos resolver as duas derivadas que apareceram diretamente, ficando com:

(d)/(d x) (14 s e n x c o s x) = 14 c o s x c o s x - 14 s e n x s e n x

Reescrevendo:

f^(' ') (x) = 14 ( c o s^2 x - s e n^2 x )

Resposta

f^(' ') (x) = 14 ( c o s^2 x - s e n^2 x )

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