Ache f''(pi) se f(x) = raiz(2 + cosx) .

Passo 1

A questão nos pede para encontrar a segunda derivada da função dada aplicada no ponto x =   π , para isso, vamos fazer primeiro a primeira derivada:

f ' x = d d x 2 + c o s x

Precisamos usar a Regra da Cadeia, derivamos a função de fora primeiro:

d d t t = 1 2 t

E aí substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela sua derivada, assim:

d d x 2 + c o s x = 1 2 2 + c o s x d d x 2 + c o s x

Resolvendo a derivada que apareceu, ficaremos com:

f ' ( x ) = - s e n x 2 2 + c o s x

Passo 2

Agora que temos a primeira derivada, precisamos fazer a derivada dela para encontrarmos a segunda:

f ' ' x = d d x - s e n x 2 2 + c o s x

Para resolver, vamos usar a Regra do Quociente, nossa derivada então vai ficar:

d d x - s e n x 2 2 + c o s x = - d d x s e n x 2 2 + c o s x - s e n x d d x 2 2 + c o s x 2 2 + c o s x 2

A derivada do primeiro termo é simples:

d d x s e n x = c o s x

E no segundo termo já temos o resultado lá do Passo 1, a única diferença é que está multiplicada por 2, ficaremos então com:

d d x 2 2 + c o s x = 1 2 + c o s x d d x 2 + c o s x = - s e n x 2 + c o s x

Substituindo os resultados na Regra do Quociente:

d d x - s e n x 2 2 + c o s x = - c o s x 2 2 + c o s x + s e n x s e n x 2 + c o s x 2 2 + c o s x 2

Reescrevendo:

d d x - s e n x 2 2 + c o s x = 2 c o s x 2 + c o s x + s e n 2 x 4 ( 2 + c o s x ) 2 + c o s x

f " ( x ) = s e n 2 x + 2 c o s 2 x + 4 c o s x 4 ( c o s x + 2 ) 3 2

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada no ponto x = π :

f " ( π ) = s e n 2 π + 2 c o s 2 π + 4 c o s π 4 ( c o s x + 2 ) 3 2

f " ( π ) = 0 + 2 - 4 4 ( - 1 + 2 ) 3 2 = - 1 2

Resposta

f " ( π ) = - 1 2

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