Ache dy para:

y = x^2 \* raiz(2x + 3, 3)

Passo 1

Questão bem direta, pessoal. Vamos precisar derivar essa função, apenas isso. Lembrando que d y = y ' d x , ok?

Analisando a função y , verificamos que é uma composição de funções polinomiais, então a ideia é usar a regra da cadeia sucessivamente.

Primeiro vamos fazer a seguinte manipulação para jogar o x 2 para dentro da raiz:

y = x 2 2 x + 3 3 = x 2 3 3 ⏞ 1 2 x + 3 1 3 = x 6 1 3 ⏞ a b c = a b c ⋅ 2 x + 3 1 3 = x 6 ( 2 x + 3 ) 1 3

Daí, temos que:

y = x 2 2 x + 3 3 = 2 x 7 + 3 x 6 1 3

Eu fiz toda essa manipulação para não precisar utilizar a regra do produto da derivada.

Passo 2

Agora vamos derivar por fora primeiro (o polinômio) utilizando a fórmula x n ' = n x n - 1 .

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

u n ' = n u n - 1 ⋅ u '

No nosso exemplo, y = ( 2 x 7 + 3 x 6 ⁡ ) ⏟ u 1 3 , logo u = 2 x 7 + 3 x 6 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada para n = 1 3 , ficando com:

y ' = 2 x 7 + 3 x 6 1 3 ' = 1 3 2 x 7 + 3 x 6 1 3 - 1 ( 2 x 7 + 3 x 6 ) '

y ' = 1 3 ( 2 x 7 + 3 x 6 ) - 2 3 ( 2 x 7 + 3 x 6 ) '

Aqui vamos usar 2 x 7 + 3 x 6 ' = 7 ⋅ 2 x 7 - 1 + 6 ⋅ 3 x 6 - 1 = 14 x 6 + 18 x 5 .

y ' = 1 3 2 x 7 + 3 x 6 - 2 3 ( 14 x 6 + 18 x 5 )

y ' = 14 x 6 + 18 x 5 3 2 x 7 + 3 x 6 2 3 = 14 x 6 + 18 x 5 3 2 x 7 + 3 x 6 1 3 ⋅ 2 x 7 + 3 x 6 1 3 ⏟ 2 x 7 + 3 x 6 2 3

Já derivamos, mas podemos simplificar mais. Lembre-se do passo 1 que x 2 2 x + 3 3 = 2 x 7 + 3 x 6 1 3 . Então:

y ' = 14 x 6 + 18 x 5 3 x 2 2 x + 3 3 ⋅ x 2 2 x + 3 3 = x 4 ( 14 x 2 + 18 x ) 3 x 4 2 x + 3 2 3 = 14 x 2 + 18 x 3 2 x + 3 2 3

Passo 3

Vamos substituir y ' em d y = y ' d x .

d y = 14 x 2 + 18 x 3 2 x + 3 2 3 d x

Prontinho.

Resposta

d y = 14 x 2 + 18 x 3 2 x + 3 2 3 d x

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