Se g(x) = 3 + x + e^x , ache g^(-1)(4)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da inversa da função, no ponto x = 4 , sabendo que essa função é dada por:

g x = 3 + x + e x

Então, temos que encontrar g - 1 4 . Pra isso, precisamos lembrar que, dada uma função injetora f , que transforma x em y , a função inversa, f - 1 , vai ser aquela que transforma y de volta pra x . Dessa forma, na função inversa, o domínio de f se torna o contradomínio e o contradomínio se torna o domínio.

Então queremos um valor de x tal que:

g - 1 4 = x

Pra isso, vamos considerar a propriedade da função inversa e encontrar um x da forma g x = 4 , ou seja:

3 + x + e x = 4

A partir disso, vamos determinar valores por inspeção para encontrar um x que satisfaça essa igualdade. Vamos lá!

Passo 2

Nós já sabemos que, pela propriedade de função inversa, o contradomínio de g   será o domínio de g - 1 . Sendo assim, nós precisamos encontrar um x da forma:

3 + x + e x = 4

Colocando todo mundo que tem x do lado esquerdo da equação, vamos ter:

x + e x = 4 - 3

x + e x = 1

Agora, podemos testar alguns valores por inspeção e verificar qual deles satisfaz a igualdade que obtivemos.

Passo 3

Vamos começar com x = 0 :

0 + e 0 = 1 ∴

1 = 1

Já conseguimos encontrar um valor de x   coerente com a função.

Então, descobrimos que g 0 = 4 , porque x = 0 satisfaz a nossa equação quando g x = 4 .

Dessa forma, como a função inversa, f - 1 , vai ser aquela que transforma y de volta pra x , vamos ter:

g - 1 4 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g - 1 4 = 0

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