Enunciado

Derive a função:

y = l o g 2 ( x l o g 5 x )

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema é bem direto, só temos que de derivar a função.

Aqui vamos ter usar a regra da cadeia, pois como temos que uma função composta, essa regra é necessária para derivação.

Temos a função y = l o g 2 ( x l o g 5 x )

e queremos encontrar sua derivada em relação a x

Passo 2

- Identificamos duas funções na expressão: u = x log 5 ⁡ ( x ) é a função de dentro e y = log 2 ⁡ ( u ) é a função de fora.

- Derivada de u = x log 5 ⁡ ( x ) em relação a x :   Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para obter d u / d x

- Derivada de y = log 2 ⁡ ( u ) em relação a u : Sabemos que a derivada de log 2 ⁡ ( u ) em relação a u   é 1 u ln ⁡ 2 .

Passo 3

- Usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada

d y d x ⋅ d y d x = 1 u ln ⁡ 2 ⋅ d u d x

- Substituímos u = x log 5 ⁡ ( x ) na expressão para d y / d x   para obter a expressão final da derivada.

Passo 4

Portanto, a derivada da função y = log 2 ⁡ x log 5 ⁡ x em relação a x é

1 x l o g 5 x ln ⁡ 2 ⋅ 1 ln ⁡ 5 + log 5 ⁡ x

Essa derivada nos fornece a taxa de variação instantânea da função em qualquer ponto x do seu domínio.

Resposta

1 x l o g 5 x ln ⁡ 2 ⋅ 1 ln ⁡ 5 + log 5 ⁡ x

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Calcule a derivada segunda.y = e^(- 3 x)
Derive.y = cos^3 x^3
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Derive.y = sqrt(e^x + e^(- x))