Enunciado

Ache a área do maior retângulo que possa ser inscrito numa circunferência dada de raio r .

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Esse problema é bem geométrico, então tem que dar uma visualizada no problema. Imagine que temos essa circunferência com um raio r qualquer:

Essa circunferência pode ser descrita pela equação:

x 2 + y 2 = r 2

Agora imagine um retângulo aí dentro, desse jeito:

Imagine que esse retângulo tangencia um ponto genérico x ,   y no primeiro quadrante. Vamos dividir o retângulo em quatro retângulos iguais menores e calcular a área de um desses retângulos. Depois é só multiplicar a área por 4 ! As dimensões desse retângulo menor será x de largura e y de altura. A área total será:

A x ,   y = 4 x ∙ y

Precisamos maximizar essa função, mas ela tem duas variáveis! Vamos pegar a outra equação que temos e isolar uma das variáveis em função da outra. Vamos elimina o y da equação:

y 2 = r 2 - x 2

Tirando as raízes dos dois lados:

y = ± r 2 - x 2

Mas estamos no 1º quadrante, onde o y ≥ 0 . Então podemos ficar só com a raiz positiva.

y = r 2 - x 2

Agora podemos substituir isso na equação da área!

A x ,   y = 4 x ∙ y

A x = 4 x r 2 - x 2

Agora sim temos a nossa função a ser maximizada. Ainda precisamos definir o nosso domínio. Como o retângulo está inscrito na circunferência, ele deve estar entre 0 e o raio r da circunferência. Eu disse que essa seria a parte mais difícil do problema hehe.

Passo 3

Daqui pra frente não tem stress. Vamos derivar a nossa equação e ver quando ela se anula:

d A d x = 4 r 2 - x 2 + 1 2 r 2 - x 2 - 2 x x

Igualando esse monstrinho a 0 e dando uma simplificada:

r 2 - x 2 - x 2 r 2 - x 2 = 0

r 2 - x 2 = x 2 r 2 - x 2

Multiplicando os dois lados por r 2 - x 2 :

r 2 - x 2 = x 2

2 x 2 = r 2

Ou seja:

x = r 2

Passo 4

Agora precisamos encontrar y . Substituindo na 2ª equação:

y 2 = r 2 - r 2 2

y 2 = r 2 - r 2 2

y 2 = r 2 2

y = r 2

Então temos um quadrado de lado r 2 .

Resposta

r 2

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