Enunciado

Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

y = x + 2 , y = x^2

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide.

Passo 2

Por definição, temos que

overset(-)(x) = (1)/(A) int_(x 1)^(x 2) x f (x) d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_(x 1)^(x 2) f (x)^2 d x

Dessa forma, temos que

A = int_(- 1)^2 (x + 2 - x^2) d x = [(x^2)/(2) + 2 x - (x^3)/(3)]_1^2 = (9)/(2)

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

overset(-)(x) = (2)/(9) int_(- 1)^2 x (x + 2 - x^2) d x = (2)/(9) [(x^3)/(3) + x^2 - (x^4)/(4)]_(- 1)^2 = (1)/(2)

overset(-)(y) = (1)/(9) int_(- 1)^2 [(x + 2)^2 - (x^2)^2] d x = (1)/(9) [(1)/(3) x^3 + 2 x^2 + 4 x - (1)/(5) x^5]_(- 1)^2 = (8)/(5)

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((1)/(2) , (8)/(5))

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