Enunciado

Ache o centroide da região limitada pelas curvas.

y = x^3 , x + y = 2 , y = 0

Passo 1

Beleza galera, Yuri aqui e estarei ajudando a resolver essa atividade.

Nessa questão queremos encontrar o centroide delimitado pelas curvas. Para isso, iremos calcular as coordenadas exatas do centroide utilizando as definições do centroide utilizando integrais.

Baixo está o gráfico da região que iremos trabalhar:

Sendo y = 0 a curva vermelha, x + y = 2 a curva azul e y = x^3 a curva verde.

Por definição, temos que

overset(-)(x) = (1)/(A) int_(x 1)^(x 2) x f (x) d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_(x 1)^(x 2) f (x)^2 d x

Onde overset(-)(x) e overset(-)(y) são as coordenadas dos centroides, A é a área da região, e x_1 e x_2 o intervalo da região para qual estamos querendo encontrar o centroide.

Passo 2

Dessa forma, temos que

A = int_0^1 (x^3) d x + int_1^2 (2 - x) d x

= [(x^4)/(4)]_0^1 + [2 x - (x^2)/(2)]_1^2 = (3)/(4)

Veja que estamos dividindo a nossa integral em duas, estamos calculando primeiramente a área da região do gráfico da função y = x^(3 ) até o encontro dela com a função y = 2 - x , que acontece em x = 1 , depois calculamos a área da região do gráfico de y = 2 - x . Podemos ver abaixo a divisão que iremos fazer em relação as duas regiões distintas que iremos trabalhar.

Passo 3

Calculando utilizando as definições do passo anterior, temos

overset(-)(x) = (4)/(3) (int_0^1 x (x^3) d x + int_1^2 x (2 - x) d x)

= (4)/(3) [(x^5)/(5)]_0^1 + (4)/(3) [x^2 - (x^3)/(3)]_1^2 = (52)/(45)

overset(-)(y) = (4)/(6) (int_0^1 (x^3)^2 d x + int_1^2 (2 - x)^2 d x)

= (2)/(3) [(x^7)/(7)]_0^1 + (2)/(3) [(1)/(3) (x - 2)^3]_1^2 = (20)/(63)

Aqui também utilizamos o mesmo princípio da divisão das regiões como no passo anterior.

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y)) = ((52)/(45) , (20)/(63))

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