Enunciado

Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 ( a é uma constante, a > 1 ) no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = a .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 entre x = 1 e x = a . O comprimento de uma curva é dado pela integral:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Note que nesse problema nossa resposta será dada em função da constante a !

O primeiro passo é isolar y :

y 2 3 = a 2 3 - x 2 3

Assim, elevando ambos os lados a 3 / 2 :

y = a 2 3 - x 2 3 3 2

Agora que temos y como função de x , podemos derivar para achar y ' :

y ' = 3 2 a 2 3 - x 2 3 1 2 ⋅ a 2 3 - x 2 3 '

Portanto,

y ' = - x - 1 3   a 2 3 - x 2 3

Desta forma, vamos ter que

1 + y ' 2 = 1 + a 2 3 - x 2 3 x 2 3

Fazendo o mmc:

1 + y ' 2 = x 2 3 + a 2 3 - x 2 3 x 2 3 = a x 2 3

Portanto,

1 + y ' 2 = a x 1 3

Assim, o comprimento da curva será

L = a 1 3 ∫ 1 a x - 1 3   d x

Passo 2

Calculando a integral:

L = a 1 3 ⋅ 3 2 x 2 3 1 a

Portanto,

L = 3 2 a 1 3   a 2 3 - 1

Desta forma, o comprimento da curva será

L = 3 2 a - a 1 3

Resposta

3 2 a - a 1 3

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