Enunciado

Ache o comprimento do arco da curva y = 1 3 x 2 + 2 3 / 2 do ponto onde x = 0 ao ponto onde x = 3 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = 1 3 x 2 + 2 3 / 2 de x = 0 até x = 3 . Para isso você precisa lembrar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Derivando y com relação a x :

y ' = 3 2 ⋅ 1 3 x 2 + 2 1 2 ⋅ x 2 + 2 ' = x x 2 + 2

Desta forma, vamos ter que

1 + y ' 2 = 1 + x 2 x 2 + 2 = 1 + x 4 + 2 x 2

Note então que

1 + y ' 2 = x 4 + 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 2

Assim

1 + y ' 2 = x 2 + 1

Portanto, o comprimento será dado pela integral

L = ∫ 0 3 x 2 + 1   d x

Passo 2

Para calcular a integral basta usar a regra do tombo inversa:

L = x 3 3 + x 0 3 = 3 3 3 + 3 = 9 + 3

Assim, o comprimento da curva será

L = 12

Resposta

12

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Ache o comprimento da curva. y 2 = 4 x + 4 3 , 0 ≤ x ≤ 2 , y0
Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1
Ache o comprimento da curva. y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) , 0 ≤ x ≤ π / 4
Ache o comprimento da curva. y = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) , 0 ≤ x ≤ π / 3
Ache a função comprimento de arco para a curva y = 2 x 3 / 2 com o ponto inicial P 0 ( 1,2 ) .