Enunciado

Ache o comprimento da curva.

y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 <= x <= 1

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Primeiro vamos achar y ' :

y^' = (1)/(2) s e n h 2 x * 2 = s e n h 2 x

Assim, temos que

1 + (y^')^2 = 1 + s e n h^2 2 x

Lembrando que cosh^2 2 x - s e n h^2 2 x = 1 , segue que

1 + (y^')^2 = cosh^2 2 x

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = int_0^1 sqrt(cosh^2 2 x) d x = int_0^1 cosh 2 x d x

A primitiva do cosseno hiperbólico é seno hiperbólico, de modo que

L = [(1)/(2) s e n h 2 x]_0^1 = (1)/(2) s e n h 2 - (1)/(2) s e n h 0 = (1)/(2) s e n h 2

Resposta

(1)/(2) s e n h 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f x = ∫ 0 x c o s td t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x=0 ao ponto onde x = 1 2 π .
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são x = ∫ 0 y sec 4 ⁡ t - 1 d t - π 4 ≤ y ≤ π 4
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são y = ∫ - 2 x 3 t 4 - 1 d t - 2 ≤ x ≤ - 1
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são x = y 3 6 + 1 2 y De y = 2 a y = 3
Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são y = 3 4 x 4 3 - 3 8 x 2 3 + 5 1 ≤ x ≤ 8