Enunciado

Ache o comprimento da curva.

y = ln ( cos x ) , 0 <= x <= pi // 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = ln ( cos x ) , no intervalo 0 <= x <= pi // 3 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia. Assim, temos:

y^' = (1)/(cos x) * (cos x)^'

y^' = - (s e n x)/(cos x)

Como (sin x)/(cos x) = tan x , temos:

y^' = - tan x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 1 + tan^2 x

Agora usando a identidade trigonométrica 1 + tan^2 x = sec^2 x , temos que

sqrt(1 + (y^')^2) = sqrt(sec^2 x)

= | sec x |

Como no intervalo dado o cosseno é positivo, a secante também é, de modo que |sec x| = sec x . Assim, nossa integral vai ficar:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x = int_0^((pi)/(3)) sec x d x

Passo 3

Aqui vale lembrar que a primitiva da secante é ln | sec x + t g x | . Então, integrando, teremos:

L = [ln |sec x + t g x|]_0^((pi)/(3))

E aplicando os intervalos de integração:

L = ln (sec (pi)/(3) + t g (pi)/(3)) - ln (sec 0 + t g 0)

Assim,

L = ln ( 2 + sqrt(3) ) - ln (1 + 0)

L = ln ( 2 + sqrt(3) )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ( 2 + sqrt(3) )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a ) Determine uma curva que passa pelo ponto 0 , 1 , cuja integral do comprimento seja L = ∫ 1 2 1 + 1 y 4 d y b ) Quantas curvas desse tipo existem? Justifique sua resposta.
a ) Determine uma curva que passa pelo ponto 1,1 , cuja integral do comprimento seja L = ∫ 1 4 1 + 1 4 x d x b ) Quantas curvas desse tipo existem? Justifique sua resposta.
Suponha que os dois pontos x 1 , y 1 e x 2 , y 2 situem-se no gráfico da reta y = m x + b . Use a fórmula do comprimento de arco para determinar a distância entre os dois pontos.
Se 4 x 2 - y 2 = 64 , mostre que d s 2 = 4 y 2 5 x 2 - 16 d x 2
Determine a função comprimento de arco para o gráfico f x = 2 x 3 2 usando 0,0 como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de 0,0 até 1,2