Ache o comprimento da curva.

y = ln(cos(x)), 0 <= x <= pi/3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) , no intervalo 0 ≤ x ≤ π / 3 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia. Assim, temos:

y ' = 1 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x '

y ' = - s e n   x cos ⁡ x

Como sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x , temos:

y ' = - tan ⁡ x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + tan 2 ⁡ x

Agora usando a identidade trigonométrica 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x , temos que

1 + y ' 2 = sec 2 ⁡ x

= | sec ⁡ x |

Como no intervalo dado o cosseno é positivo, a secante também é, de modo que sec ⁡ x = sec ⁡ x . Assim, nossa integral vai ficar:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x = ∫ 0 π 3 sec ⁡ x   d x

Passo 3

Aqui vale lembrar que a primitiva da secante é ln ⁡ | sec ⁡ x + t g   x | . Então, integrando, teremos:

L = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x 0 π 3

E aplicando os intervalos de integração:

L = ln ⁡ sec ⁡ π 3 + t g π 3 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + t g   0

Assim,

L = ln ⁡ ( 2 + 3 ) - ln ⁡ 1 + 0

L = ln ⁡ ( 2 + 3 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ⁡ ( 2 + 3 )

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