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Ache o comprimento da curva.

y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Devemos calcular o comprimento da curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a expressão

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Primeiro vamos achar y ' :

y ' = 1 2 s e n h   2 x ⋅ 2 = s e n h   2 x

Assim, temos que

1 + y ' 2 = 1 + s e n h 2 2 x

Lembrando que cosh 2 ⁡ 2 x - s e n h 2 2 x = 1 , segue que

1 + y ' 2 = cosh 2 ⁡ 2 x

Passo 2

Desta forma, o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 0 1 cosh 2 ⁡ 2 x   d x = ∫ 0 1 cosh ⁡ 2 x   d x

A primitiva do cosseno hiperbólico é seno hiperbólico, de modo que

L = 1 2 s e n h   2 x 0 1 = 1 2   s e n h   2 - 1 2 s e n h   0 = 1 2 s e n h   2

Resposta

1 2 s e n h   2

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