Enunciado

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Um falcão voando a 15 m/s a uma altitude de 180 m acidentalmente derruba sua presa. A trajetória parabólica de sua presa caindo é descrita pela equação

y = 180 - x 2 45

até que ela atinja o solo, onde y é a altura acima do solo e x , a distância horizontal percorrida em metros. Calcule a distância percorrida pela presa do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge o solo. Expresse sua resposta com precisão de um décimo de metro.

Passo 1

Basicamente, o que precisamos fazer é calcular o comprimento da curva que descreve a trajetória da presa. Assim,

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Temos que a = 0 e para acharmos b , basta fazer y = 0 :

180 - x 2 45 = 0 ⇒ x 2 = 180 ⋅ 45 = 8100 ⇒ x = ± 90

Assim, b = 90 . Além disso,

y ' = - 2 x 45 ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + 4 x 2 45 2 = 45 2 + 4 x 2 45 2

Desta forma,

L = 1 45 ∫ 0 90 45 2 + 2 x 2   d x

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável u = 2 x ⇒ d u = 2   d x . Assim,

L = 1 90 ∫ 0 180 45 2 + u 2   d u

Pode se resolver essa integral fazendo-se a substituição trigonométrica u = 45   t g   θ . Como você já deve ter feito essa conta muitas vezes, vamos recorrer a fórmula 21 na tabela de integrais ao final do livro:

∫ a 2 + u 2   d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ⁡ ( u + a 2 + u 2 )

Assim,

L = 1 90 u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ⁡ u + a 2 + u 2 0 180

Portanto,

L = 1 90 90 45 2 + 180 2 + 45 2 2 ln ⁡ 180 + 45 2 + 180 2 - 45 2 2 ln ⁡ 45

Ou ainda,

L = 1 90 90 45 2 + 180 2 + 45 2 2 ln ⁡ 180 + 45 2 + 180 2 45

Fazendo essa conta em uma calculadora, obtemos L = 209,1   m .

Resposta

209,1   m

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