Enunciado

Um falcão voando a 15 m/s a uma altitude de 180 m acidentalmente derruba sua presa. A trajetória parabólica de sua presa caindo é descrita pela equação

y = 180 - x 2 45

até que ela atinja o solo, onde y é a altura acima do solo e x , a distância horizontal percorrida em metros. Calcule a distância percorrida pela presa do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge o solo. Expresse sua resposta com precisão de um décimo de metro.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a distância percorrida x pela presa, do momento em que ela é derrubada até o momento em que ela atinge o solo.

Basicamente, o que precisamos fazer é calcular o comprimento da curva que descreve a trajetória da presa. Assim, vamos usar a nossa fórmula de comprimento do arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Temos que a = 0 e para acharmos b , basta fazer y = 0 na equação y = 180 - x 2 45 , porque nesse momento a presa atinge o solo e a distância vertical é igual a zero.

Além disso, y ' é a derivada da nossa função. Então, basta a gente calcular o valor de b e calcular a derivada da equação para substituir na nossa fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar fazendo y = 0 na nossa equação:

180 - x 2 45 = 0

Isolando x :

⇒ x 2 = 180 ⋅ 45

x 2 = 8100

E tirando a raiz dos dois lados:

⇒ x = ± 90

Assim, b = 90 é o final do nosso intervalo.

Passo 3

Agora derivando a nossa equação, vamos ter:

y ' = d d x 180 - x 2 45

y ' = - 2 x 45

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, temos:

1 + y ' 2 = 1 + 4 x 2 45 2

Tirando o MMC do lado direito:

1 + y ' 2 = 45 2 + 4 x 2 45 2

Passo 4

Desta forma, substituindo tudo na fórmula do passo 1 , temos:

L = 1 45 ∫ 0 90 45 2 + 2 x 2   d x

Vamos fazer a mudança de variável, com u = 2 x ⇒ d u = 2   d x . Assim, teremos:

L = 1 90 ∫ 0 180 45 2 + u 2   d u

Pode se resolver essa integral fazendo-se a substituição trigonométrica u = 45   t g   θ . Como você já deve ter feito essa conta muitas vezes, vamos recorrer a fórmula 21 na tabela de integrais ao final do livro:

∫ a 2 + u 2   d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ⁡ ( u + a 2 + u 2 )

Assim, vamos ter:

L = 1 90 u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ⁡ u + a 2 + u 2 0 180

Aplicando os limites de integração:

L = 1 90 90 45 2 + 180 2 + 45 2 2 ln ⁡ 180 + 45 2 + 180 2 - 45 2 2 ln ⁡ 45

E usando as propriedades de logaritmo, simplificamos a equação na forma:

L = 1 90 90 45 2 + 180 2 + 45 2 2 ln ⁡ 180 + 45 2 + 180 2 45

Fazendo essa conta em uma calculadora, obtemos:

L = 209,1   m

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

209,1   m

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