Enunciado

Se f t é contínua para t ≥ 0 , a Transformada de Laplace de f é a função F definida por

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

e o domínio de F é conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções.

c) f t = t

Passo 1

Sei que é estranho esse primeiro contato com uma transformada de Laplace, mas esqueça esse nome estranho e vamos apenas tentar calcular a integral imprópria!!!

Queremos achar

∫ 0 ∞ t ⋅ e - s t d t

Mas antes, vamos calcular

∫ 0 y t e - s t d t

Essa integral é calculada por partes com u = t e d v = e - s t d t , de modo que d u = d t e v = - 1 s e - s t . Portanto,

∫ 0 y t e - s t d t = - t s e - s t 0 y + 1 s ∫ 0 y e - s t d t = - y s e - s y - 1 s 2 e - s y - 1 = 1 s 2 - 1 s 2 e - s y ( 1 + s y )

Passo 2

Precisamos ver o que acontece com e - s y ( 1 + s y ) quando y → ∞ . Se s < 0 , esse termo explode. Resta ver o que acontece para s > 0 :

lim y → ∞ ⁡ e - s y ( 1 + s y ) = lim y → ∞ ⁡ 1 + s y e s y

Note que temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito (com s > 0 ). Aplicando a regra de L’Hospital:

lim y → ∞ ⁡ 1 + s y e s y = lim y → ∞ ⁡ s s e s y = 0

Portanto,

F s = 1 s 2 ,       s > 0

Resposta

F s = 1 s 2 ,       s > 0

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