Enunciado

Um vento contínuo sopra uma pipa para oeste. A altura da pipa acima do solo a partir da posição horizontal x = 0 até x = 25   m é dada por y = 50 - 0,1 x - 15 2 . Ache a distância percorrida pela pipa.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida pela pipa, sabendo que a altura da pipa acima do solo a partir da posição horizontal x = 0 até x = 25   m é dada por y = 50 - 0,1 x - 15 2 .

Então, temos que calcular o comprimento dessa curva entre x = 0 e x = 25 . Lembrando que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a expressão da curva:

y ' = - 2 ⋅ 0,1   x - 15

y ' = - 0,2   x - 15

Elevando esse resultado ao quadrado, temos:

y ' 2 = 0,04   x - 15 2

Desta forma, o comprimento da curva é dado pela integral:

L = ∫ 0 25 1 + 0,04   x - 15 2   d x

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos primeiro a mudança de variável:

u = x - 15 ⇒ d u = d x

Quando x = 0 , temos que u = - 15 e para x = 25 , achamos u = 10 :

L = ∫ - 15 10 1 + 0,04   u 2   d u

Agora fazemos uma nova mudança de variável:

0,04   u 2 = t 2

⇒ t = 0,2   u

⇒ d u = d t 0,2

Para u = - 15 , temos que:

t = 0,2 ⋅ - 15

t = - 3

Já para u = 10 , temos

t = 0,2 ⋅ 10

t = 2

Portanto, nossa integral vai ficar:

L = ∫ - 3 2 1 + t 2 d t 0,2

L = 5 ∫ - 3 2 1 + t 2   d t

Passo 4

Para calcular essa integral, fazemos a mudança de variável t = tan ⁡ θ . Assim,

1 + t 2 = 1 + tan 2 ⁡ θ

= sec 2 ⁡ θ

Logo,

1 + t 2 = sec ⁡ θ

Quando fazemos essa mudança de variável, definimos a tangente no intervalo - π 2 < θ < π 2 . Nesse intervalo, sec ⁡ θ > 0 , de modo que

sec ⁡ θ = sec ⁡ θ

Portanto,

1 + t 2 = sec ⁡ θ

Além disso,

d t = sec 2 ⁡ θ   d θ

Com isso, temos que calcular a integral da secante ao cubo:

∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ

Essa integral pode ser calculada e o próprio livro fez isso no exemplo 8 da seção 7.2 sobre integrais trigonométricas. O resultado é

∫ sec 3 ⁡ θ   d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Se você quiser entender direitinho como se faz essa integral, vai lá dar uma olhadinha!

Passo 5

Mas nós queremos voltar para a variável t , pois

∫ 1 + t 2   d t = ∫ sec 3 ⁡ θ   d θ ,

com t = tan ⁡ θ . Sabemos que

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ = 1 + t 2

⇒ sec ⁡ θ = 1 + t 2

Assim,

1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

= 1 2 t 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ t + 1 + t 2

Com isso, achamos que

∫ 1 + t 2   d t = 1 2 t 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ t + 1 + t 2

Passo 6

Bom, agora podemos finalmente achar a resposta do problema:

L = 5 ∫ - 3 2 1 + t 2   d t = 5   1 2 t 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ t + 1 + t 2 - 3 2

Assim, aplicando os intervalos de integração:

L = 5   1 2 ⋅ 2   1 + 4 + 1 2 ln ⁡ 2 + 1 + 4 - 1 2 - 3 1 + 9 - 1 2 ln ⁡ - 3 + 1 + 9

Com isso,

L = 5   5 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5 + 3 2 10 - 1 2 ln ⁡ 10 - 3

Como 10 > 3 , temos que

10 - 3 = 10 - 3

Desta forma, a distância percorrida pela pipa é dada por

L = 5 5 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5 + 3 2 10 - 1 2 ln ⁡ 10 - 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 5 5 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5 + 3 2 10 - 1 2 ln ⁡ 10 - 3

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