Ache o comprimento do arco da curva x^2 = (2y + 3)^3 de (1, -1) a (7raiz(7), 2) .

Passo 1

O exercício pede o comprimento da curva x 2 = 2 y + 3 3 entre os pontos ( 1 ,   - 1 ) e ( 7 7 ,   2 ) . Neste caso, é mais fácil isolar x como função de y então vamos usar a integral em y :

L = ∫ a b 1 + x ' 2   d y

Isolando x :

x = 2 y + 3 3 2

Derivando,

x ' = 3 2 2 y + 3 1 / 2 ⋅ 2 y + 3 ' = 3 2 y + 3

Assim,

1 + x ' 2 = 1 + 9 ( 2 y + 3 ) = 28 + 18 y

Portanto,

L = ∫ - 1 2 28 + 18 y   d y

Passo 2

Para calcular essa integral, vamos fazer a substituição t = 28 + 18 y ⇒ d t = 18   d y . Assim, mudando os limites de integração:

L = 1 18 ∫ 10 64 t   d t = ∫ 1 0 64 t 1 / 2   d t = 2 3 t 3 2 1 0 6 4

Assim,

L = 2 3 64 3 2 - 10 3 2

Resposta

2 3 64 3 2 - 10 3 2

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