Ache (f^(-1))'(d) .

f(x) = 2 \* cot(x), 0 < x < pi; d = 2

Passo 1

A questão fornece uma função f invertível e pede para acharmos a derivada da inversa em x = d . Por mais estranho que possa parecer, não precisamos achar uma expressão para f - 1 para achar sua derivada em um determinado ponto, podemos recorrer ao teorema 7.2.4 apresentado nessa seção do livro.

O teorema basicamente diz que se f c = d e f ' c ≠ 0 , então

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Desta forma, basta conhecermos a derivada de f em x = c que saberemos a derivada de f - 1 em x = d .

Neste caso, temos que f x = 2 cot ⁡ x e d = 2 . O primeiro passo é descobrir c tal que f c = d . Assim, temos que

2 cot ⁡ c = 2 ⇒ cot ⁡ c = 1 ⇒ c = π 4

Passo 2

Agora precisamos achar f ' ( c ) . Derivando f :

f ' x = - 2 csc 2 ⁡ x

Assim,

f ' c = f ' π 4 = - 2 csc 2 ⁡ π 4 = - 2 ⋅ 2 = - 4

Portanto,

f - 1 ' d = f - 1 ' 2 = 1 f ' ( c ) = - 1 4

Resposta

- 1 4

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