Determine a derivada.

m) f(x) = (e^(-x) \* arctg(e^x)) / (tg x)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa derivada vamos aplicar a regra do quociente, mas repara que o nosso numerador é uma multiplicação de duas duas funções, então também vamos ter que aplicar a regra do produto. Também vamos usar a regra da cadeia para resolver a parte a r c t g e x .

Pela regra do quociente ficamos com,

f ' x = e - x a r c t g e x ' t g x - e - x a r c t g e x t g x ' t g x 2

Acabou aparecendo a regra do produto no primeiro termo. Vamos desenvolver essa parte? Vai ser assim, ó:

f ' x = ( e - x ' a r c t g e x + e - x a r c t g e x ' ) t g x - e - x a r c t g e x t g x ' t g x 2

Agora vamos lembrar de algumas derivadas! A função exponencial tem a seguinte derivada,

e - x ' = - e - x

Já a função a r c t g tem essa derivada,

a r c t g   x ' = 1 1 + x 2

Por fim, a função tangente tem a seguinte derivada,

t g x ' = sec 2 ⁡ x

Agora vamos juntar tudo!

Passo 2

Beleza, agora é só substituir essa parada toda na conta!

f ' x = ( e - x ' a r c t g e x + e - x a r c t g e x ' ) t g x - e - x a r c t g e x t g x ' t g x 2

Substituindo,

f ' x = - e x a r c t g e x + e - x e x 1 + e 2 x t g x - e - x a r c t g e x sec 2 ⁡ x t g x 2

Arrumando o salão, chegamos em:

f ' x = - e x a r c t g e x + 1 1 + e 2 x t g x - e - x a r c t g e x sec 2 ⁡ x t g x 2

Resposta

f ' x = - e x a r c t g e x + 1 1 + e 2 x t g x - e - x a r c t g e x sec 2 ⁡ x t g x 2

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