Ache a derivada da função dada:

f(x) = tgh^(-1)(sen(raiz(x)))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma trigonométrica e uma raiz, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( tgh - 1 ⁡ x ) ' = 1 1 - x 2  

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( tgh - 1 ⁡ u ) ' = u ' 1 - u 2

Passo 2

No nosso exemplo, f x = tgh - 1 ⁡ sen ⁡ x ⏟ u , logo u = sen ⁡ x e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

f' x = tgh - 1 ⁡ sen ⁡ x ' ⁡ = ( sen ⁡ x ) ' 1 - ( sen ⁡ x ) 2 = ( sen ⁡ x ) ' 1 - sen 2 ⁡ x

Passo 3

Agora precisamos da derivada de sen ⁡ x = sen ⁡ x 1 2 .

Devemos lembrar que ( sen ⁡ x ) ' = cos ⁡ x , porém temos, no nosso exemplo, x 1 2 no lugar de x , então devemos utilizar a regra da cadeia:

( sen ⁡ x 1 2 ) ' = ( cos ⁡ x 1 2 ) ⋅ 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 cos ⁡ x ⋅ x - 1 2 = cos ⁡ x 2 x

Aqui foi utilizada a derivada x n ' = n x n - 1 com n = 1 2 .

Passo 4

Substituindo a derivada ( sen ⁡ x 1 2 ) ' = cos ⁡ x 2 x em:

f' x ⁡ = ( sen ⁡ x ) ' 1 - sen 2 ⁡ x = cos ⁡ x 2 x     1 - sen 2 ⁡ x = cos ⁡ x 2 x ( 1 - sen 2 ⁡ x )  

Encerramos aqui.

Resposta

f ' ( x ) = cos ⁡ x 2 x ( 1 - sen 2 ⁡ x )  

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