Ache a derivada da função dada

g(t) = cosh^(-1)(raiz(t^2 + 1))

Passo 1

Analisando a questão, verificamos que é uma composição de uma função hiperbólica inversa com uma raiz, daí concluímos que teremos que utilizar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro).

Começaremos então derivando a função hiperbólica inversa (derivada de fora) e depois iremos ver a derivada de dentro.

Para isso, devemos lembrar a derivada:

( cosh - 1 ⁡ t ) ' = 1 t 2 - 1                 t > 1

Porém, quando temos uma função no lugar de t , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de t .

( cosh - 1 ⁡ u ) ' = u ' u 2 - 1                 u > 1

Passo 2

No nosso exemplo, g t = cosh - 1 ⁡ t 2 + 1 ⏟ u , logo u = t 2 + 1 e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

g ' t = ( cosh - 1 ⁡ t 2 + 1 ) ' = t 2 + 1 ' t 2 + 1 2 - 1 = t 2 + 1 ' t 2 + 1 - 1 = t 2 + 1 ' t 2

Passo 3

Agora precisamos da derivada de t 2 + 1 = t 2 + 1 1 2 .

Devemos lembrar que ( t n ) ' = n t n - 1 , porém temos, no nosso exemplo, t 2 + 1 no lugar de t , então devemos utilizar a regra da cadeia:

t 2 + 1 1 2 ' = 1 2 t 2 + 1 1 2 - 1 ⋅ t 2 + 1 ' = 1 2 t 2 + 1 - 1 2 ⋅ 2 t = t t 2 + 1  

Passo 4

Substituindo a derivada t 2 + 1 ' = t t 2 + 1 em:

g ' t ⁡ = t 2 + 1 ' t 2 = t t 2 + 1 t 2 = t t 2 + 1 t 2 = t t 4 + t 2

Concluímos a questão.

Resposta

g ' ( t ) = t t 4 + t 2

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