Enunciado

Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito em uma esfera com raio de 6 cm.

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

A ideia dessa questão é parecida com a anterior, mas dessa vez não queremos maximizar a área lateral, mas sim o volume do cilindro. Vamos usar os mesmos parâmetros que usamos lá pra ficar bem análogo.

Imagine um cilindro inscrito em uma esfera de raio R . Agora imagine que ϕ é o ângulo entre o eixo central do cilindro e o ponto superior de interseção entre o cilindro e a esfera. Daí já podemos restringir ϕ no conjunto 0 , π 2 :

Então o raio r desse cilindro será:

r = R sin ⁡ ϕ

E sua altura h será:

h = 2 R cos ⁡ ϕ

Agora vamos definir a equação do volume V do cilindro:

V ϕ = 2 π ∙ r 2 ∙ h

Substituindo os valores de r e h :

V ϕ = 2 π ∙ R sin ⁡ ϕ 2 ∙ 2 R cos ⁡ ϕ

V ϕ = 4 π R 3 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ

Agora vamos derivar e igualar a 0 e encontraremos o nosso ponto de máximo!

Passo 3

Derivando V :

d V d ϕ = 4 π R 3 d d ϕ sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ

d V d ϕ = 4 π R 3 2 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ - sin 3 ⁡ ϕ

E se precisarmos achar onde a derivada é nula, teremos que:

2 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ - sin 3 ⁡ ϕ = 0

Dividindo tudo por sin ⁡ ϕ :

2 cos 2 ⁡ ϕ - sin 2 ⁡ ϕ = 0

sin 2 ⁡ ϕ = 2 cos 2 ⁡ ϕ

Lembre-se que sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ = tan 2 ⁡ ϕ :

tan 2 ⁡ ϕ = 2

tan ⁡ ϕ = 2

Então:

ϕ = arctan ⁡ 2 ≅ 54 , 74 °

Agora é só substituir o valor de ϕ e R nas equações para a altura e para o raio do cilindro e acabamos!

Passo 4

h = 2 ∙ 6 ∙ cos ⁡ 54.74 ° ≅ 6,93

r = 6 ∙ sin ⁡ 54,74 ° ≅ 4 , 90

Resposta

O raio é 4 , 90 cm, a altura é 6 , 93 cm.

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