Enunciado

39. Se lhe for oferecida uma fatia de uma pizza redonda (em outras palavras, um setor de um círculo) e a fatia precisar ter um perímetro de 60 cm, qual diâmetro da pizza vai recompensá-lo com a maior fatia?

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! O problema pede pra a gente calcular o diâmetro de uma pizza com fatia de maior área, considerando que o perímetro da fatia é de 60   c m !

Ficou confuso? O problema só te despertou fome?! Fica tranquilo, vamos esquematizar tudo!

Vamos imaginar essa pizza, e esse tal pedaço aí, ficaria mais ou menos assim:

O enunciado disse pra gente que o perímetro dessa fatia vale 60 c m , esse perímetro é dado por:

P = R A I O + R A I O + A R C O

Seja r o RAIO e a o ARCO, temos que:

P = 2 r + a

60 = 2 r + a

Podemos relacionar esse arco com o raio, de acordo com o ângulo de abertura. Assim:

a = r θ

Substituindo:

60 = 2 r + r θ

Passo 2

Como queremos a maior fatia de pizza possível, temos que encontrar a maior área possível. A área total da pizza A :

A = π r ²

E a área da fatia, A F , será uma sessão dessa área total, que conseguimos relacionar dentro de uma regrinha de 3, tipo assim, a área total é referente ao ângulo de uma volta inteira, 2 π , enquanto a área da fatia será referente ao ângulo θ :

          A - 2 π

A F - θ

Assim temos:

A F = θ A 2 π

Substituindo A :

A F = θ r 2 2

Lá em cima vimos que:

60 = 2 r + r θ

Isolando θ :

θ = 60 - 2 r r

Podemos então escrever:

A F = 60 - 2 r r r 2 2

A F = r 60 - 2 r 2

Finalmente chegamos em:

A F = r 30 - r

Passo 3

E agora sim, podemos derivar nossa função para encontrar os valores críticos. Bora lá então, derivando A F temos:

A F = r 30 - r = 30 r - r 2

A F ' = 30 - 2 r

Agora calculamos A f ' = 0 :

30 - 2 r = 0

r = 15   c m

Então quer dizer que o raio da pizza que maximiza o nosso pedaço é dado por r = 15 c m , MAAASSSSS ai tem mais uma malandragem, porque queremos o diâmetro e não o raio. Por isso nossa reposta final é

D = 30   c m

Resposta

O diâmetro é D = 30 c m

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