Enunciado

Se os quatro primeiros termos do polinômio de Maclaurin forem usados para aproximar o valor de e , qual será a precisão do resultado?

Passo 1

Ele quer o valor de e , se olharmos essa raiz como uma potência, vamos ter:

e = e 1 2

Então temos que fazer o polinômio de Maclaurin de e x

O polinômio de Maclaurin é o polinômio de Taylor centrado no x = 0

Para calcularmos a formula de Taylor, temos que lembrar como ela é:

P n x = ∑ i = 0 n f i x 0 i ! x - x 0 i

Para calcular o polinômio de Taylor, temos que determinar que é o ponto central do polinômio, o nosso x 0 , e fazer as derivadas para achar o seu padrão. Vamos ter:

x 0 = 0

Uma coisa importante, ele quer usar os 4 primeiros termos, isso vai fazer com que a ordem do polinômio seja 3 . Isso porque a quantidade de termos é 1 a mais que a ordem.

P 3 x = ∑ i = 0 3 f i 0 i ! x i

Passo 2

Temos

f x = e x

Fazendo as derivadas:

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

Então vamos ter:

f 0 = e 0 = 1

f ' 0 = e 0 = 1

f ' ' 0 = e 0 = 1

f ' ' ' 0 = e 0 = 1

Passo 3

O polinômio de Maclaurin de e x vai ser:

P 3 x = ∑ i = 0 3 x i i !

Abrindo o polinômio:

P 3 x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 !

P 3 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6

Passo 4

Para aproximarmos o valor da raiz usando o polinômio, vamos fazer

x = 1 2

Porque assim teremos:

e 1 2 ≅ P 3 1 2

e 1 2 ≅ 1 + 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 3 6

e 1 2 ≅ 1 + 1 2 + 1 8 + 1 48

e 1 2 ≅ 79 48

Passo 5

Vamos calcular o Erro de Lagrange agora, que ele pediu.

Vamos ter:

R 4 x = f 4 ε 4 ! x 4

Com o ε entre 0 e x .

Temos:

f 4 ε = e ε

Logo:

R 4 x = e ε 4 ! x 4

Com o ε entre 0 e x .

Vamos usar isso no valor de x para a raiz de e

Passo 6

Vamos ter:

x = 1 2

Logo o erro vai ser:

R 4 1 2 = e ε 4 ! 1 2 4

R 4 1 2 = e ε 384

Com o ε entre 0 e 1 2 .

Como:

0 < ε < 1 2

Vamos ter:

e 0 < e ε < e 1 2

1 < e ε < e 1 2

Dividindo por 384

1 384 < e ε 384 < e 1 2 384

Temos

e 1 2 < 2

Assim, vamos ter

R 4 1 2 < e 1 2 384 < 2 384 ≅ 0,005

Então o erro é menor que 0,005

Logo, é exato até a segunda casa decimal.

Resposta

é exato até a segunda casa decimal.

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