Enunciado

Se vec F = vec r // r^p , ache d i v vec F . Existe algum valor de p para o qual d i v vec F = 0 ?

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essa identidade, vamos ver o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor vec v ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

grad * vec v = ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * (a , b , c) = (del)/(del x) a + (del)/(del y) b + (del)/(del z) c

Ok?

Aplicando isso ao vetor vec F temos:

grad * vec F = ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * ((x)/((x^2 + y^2 + z^2)^(p // 2)) , (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^(p // 2)) , (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^(p // 2))) = (del)/(del x) [(x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))] + (del)/(del y) [(y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))] + (del)/(del z) [(z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))]

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora como é cada uma das derivadas parciais. Aplicando a regra do produto em casa componente temos:

  • Em x :
  • (del)/(del x) [(x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))] = (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1)

  • Em y :
  • (del)/(del y) [(y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))] = (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1)

  • Em z :

(del)/(del z) [(z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)))] = (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1)

Passo 3

Legal! Agora vamos substituir o resultado das derivadas na expressão de grad * vec F :

grad * vec F = (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1) + (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1) + (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1)

Agora agrupando os termos semelhantes temos:

grad * vec F = 3 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2) - 1) ( x^2 + y^2 + z^2 )

grad * vec F = 3 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2))

Agora temos que descobrir o valor de p que torna grad * vec F = 0 . Então igualando à zero essa última expressão teremos:

3 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) + p (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) = 0

p (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2)) = - 3 (x^2 + y^2 + z^2)^((p)/(2))

p = - 3

Pronto! O valo que torna a expressão grad * vec F = 0 verdadeira é p = - 3 .

Resposta

p = - 3

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O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.d ) vec F (x , y , z) = (x)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec i + (y)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec j + (z)/((x^2 + y^2 + z^2)^2) vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. b )F → x , y = y i → + x j →
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. F → x , y , z , w = ( x , y , z , w )
Seja f :R → R uma função contínua e seja F → o campo vetorial central: F → x , y , z = f r r → r , Onde r → = x i → + y j → + z k → e r = r → . Prove que F → é conservativo.(sugestão: verifique que ∇