Enunciado

Ache os extermos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, uando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira.

Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

F x = 9 x + x 2 9

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de F x . Primeiro vamos fazer

F x = 9 x - 1 + x 2 9

Derivando:

F ' x = 9 - 1 x - 1 - 1 + 2 x 9

F ' x = - 9 x - 2 + 2 x 9

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Como chegamos em um expoente negativo, a derivada não vai existir quando o x = 0 . Mas a própria função também tem isso. Então, x = 0 não existe na função, logo não pode ser extremo nem ponto de inflexão.

Isso porque:

x - 2 = 1 x 2

Ai, quando x = 0 o denominador é 0

Passo 2

Vamos para os outros pontos críticos, que é quando a derivada é 0 .

F ' x = 0 → - 9 x - 2 + 2 x 9 = 0

Fazendo:

x - 2 = 1 x 2

Vamos ter:

- 9 x 2 + 2 x 9 = 0

9 x 2 = 2 x 9

81 = 2 x 3

x = 81 2 3

Passo 3

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

F ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o F ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se F ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter

F ' ' x = - 9 - 2 x - 2 - 1 + 2 9

F ' ' x = 18 x - 3 + 2 9

Temos que ver o valor de F ' ' x para x = 81 2 3

F ' ' 81 2 3 = 18 81 2 3 - 3 + 2 9 = 18 81 2 - 1 + 2 9

F ' ' 81 2 3 = 18.2 81 + 2 9

Simplificando aquele 18 e 81 por 9 , temos:

F ' ' 81 2 3 = 4 9 + 2 9

F ' ' 81 2 3 = 6 9 > 0

Logo x = 81 2 3 é ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Vamos agora para a concavidade

F ' ' x = 18 x - 3 + 2 9

Vamos analisar direto os sinais dessa função para achar a concavidade e de quebra os pontos de inflexão.

Para isso, vamos fazer:

18 x - 3 + 2 9 = 0

18 x - 3 = - 2 9

x - 3 = - 1 81

x = - 1 81 3

Como temos apenas o x - 3 , antes dessa raiz a função vai ser negativo e depois ela vai ser positivo.

Então, a função é côncava para baixo para valores menores que - 1 81 3 , e côncava para cima para valores maiores que - 1 81 3 .

Assim o ponto de inflexão é:

x = - 1 81 3

Passo 5

Vamos organizar as informações para o nosso gráfico:

Máximo relativo:

x = 81 2 3

Ponto de inflexão:

x = - 1 81 3

Concava para cima:

x > - 1 81 3

Concava para baixo

x < - 1 81 3

O esboço vai ficar:

Resposta

Máximo relativo:

x = 81 2 3

Ponto de inflexão:

x = - 1 81 3

Concava para cima:

x > - 1 81 3

Concava para baixo

x < - 1 81 3

O esboço vai ficar:

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