Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

f x = x 2

- 3,2

Passo 1

Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.

Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.

OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.

Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é 0

f ' x = 2 x

Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é 0 .

2 x = 0 → x = 0

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.

Lembrando, se f ' ' x > 0 então é mínimo, se f ' ' x < 0 então é máximo.

Temos,

f ' ' x = 2

Logo é sempre positiva, então

f ' ' 0 = 2 > 0

O ponto x = 2 pe pnto de mínimo relativo.

Passo 3

Agora vamos pegar as bordas do intervalo, em - 3 tomamos o limite e em 2 o valor da função.

lim x → - 3 ⁡ f x = lim x → - 3 ⁡ x 2 = - 3 2 = 9

f 2 = 2 2 = 4

Passo 4

Por fim, temos que comparar os valores de f x para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo.

lim x → - 3 ⁡ f x = 9

f 2 = 4

f 0 = 0 2 = 0

Dentre esse 3 valores o maior deles é o limite que vai para 9 certo? Ele então seria o máximo absoluto, mas calma uma coisa, o intervalo não pega o x = - 3 , então não teremos máximo absoluto.

O menor deles é o f 0 = 0 , esse x está no intervalo, então ele vai ser mínimo absoluto.

Resposta

x = 0 → f 0 = 0 → M í n i m o   a b s o l u t o

Não possúi máximo absoluto.

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