Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

f x = x 3 + 2 x 2 - 4 x + 1

- 3,2

Passo 1

Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.

Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.

OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.

Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é 0

f ' x = 3 x 2 + 4 x - 4

Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é 0 .

3 x 2 + 4 x - 4 = 0

Por Bhaskaras, vamos achar

x = - 2

x = 2 3

Os dois vão estar no intervalo, então vamos ver se são extremos.

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.

Lembrando, se f ' ' x > 0 então é mínimo, se f ' ' x < 0 então é máximo.

Temos,

f ' ' x = 6 x + 4

Para x = - 2

f ' ' - 2 = 6 - 2 + 4 = - 12 + 4 = - 8 < 0

Logo é ponto de máximo

Para x = 2 3

f ' ' 2 3 = 6 2 3 + 4 = 4 + 4 = 8 > 0

Logo é ponto de mínimo

Passo 3

Agora vamos pegar as bordas do intervalo, em - 3 e 2 tomamos o limite.

lim x → - 3 ⁡ f x = lim x → - 3 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 4 x + 1 = - 3 3 + 2 - 3 2 - 4 - 3 + 1 =

- 27 + 18 + 12 + 1 = 4

lim x → 2 ⁡ f x = lim x → 2 ⁡ x 3 + 2 x 2 - 4 x + 1 = 2 3 + 2 2 2 - 4 2 + 1 =

8 + 8 - 8 + 1 = 9

Passo 4

Por fim, temos que comparar os valores de f x para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo.

lim x → - 3 ⁡ f x = 4

lim x → 2 ⁡ f x = 9

Extremos

f - 2 = - 2 3 + 2 - 2 2 - 4 - 2 + 1 = - 8 + 8 + 8 + 1 = 9

f 2 3 = 2 3 3 + 2 2 3 2 - 4 2 3 + 1 = 8 27 + 8 9 - 8 3 + 1

f 2 3 = 8 + 24 - 72 + 27 27 = - 13 27

Dentre esse valores o maior deles é o limite que vai para 9 certo? Ele então seria o máximo absoluto, mas calma uma coisa, o intervalo não pega o x = - 3 , então não teremos máximo absoluto.

O menor deles é o f 2 3 = - 13 27 , esse x está no intervalo, então ele vai ser mínimo absoluto.

Resposta

x = 2 3 → f 2 3 = - 13 27 → M í n i m o   a b s o l u t o

Não possúi máximo absoluto.

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