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Nos exercícios de 13 a 32, ache o limite

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4

Passo 1

Fala galeres, beleza?

Bom, aqui temos que encontrar o limite dessa expressão com o nosso t tendendo a - 4 lateralmente, apenas pelos valores menores que o - 4 , ou seja, tá tendendo a - 4 pela esquerda.

Vamos começar com o de sempre, jogando o valor do t e ver no que vai dar:

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = 2 4 2 + 3 ⋅ ( - 4 ) - 4 - 3 t + 4 = 2 0 - 3 0 = ∞ - ∞

Deu xabu.... infinito menos infinito, vamos ter que dar uma mexida nessa expressão.

Se a gente olhar direito, dá pra ver que o denominador da primeira fração é um produto notável! E algo me diz que esse produto notável aí, vai ajudar a gente!

Passo 2

Olhando para a nossa expressão, nós temos:

2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4

Show de bola.

Ali na fração da esquerda, no denominador nós temos a seguinte expressão

t 2 + 3 t - 4

Isso aí tá com cara de um produto notável que conhecemos... me lembra isso aqui:

t + a t + b = t 2 + t a + b + a b

Comparando com a nossa expressão, temos que

a + b = 3

a b = - 4

E resolvendo esse sisteminha, encontramos que

a = 4   ∴ b = - 1

Ou seja, podemos escrever nosso denominador da seguinte forma

t 2 + 3 t - 4 = t + 4 t - 1

E agora é só substituir na nossa expressão...

2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = 2 ( t + 4 ) ( t - 1 ) - 3 t + 4

Tá ficando melhor. Agora eu tenho até dois termos iguais, um em cada denominador das frações. Já que tá moleza assim, vamos fazer esse MMC e essa subtração!

2 ( t + 4 ) ( t - 1 ) - 3 t + 4 = 2 ⋅ 1 - 3 ⋅ t - 1 ( t + 4 ) ( t - 1 )

Ajeitando as coisas...

5 - 3 t t + 4 t - 1

Agora ficamos com uma fração só... me parece que conseguimos sair da indeterminação, vamos ver o que acontece se substituirmos o nosso limite.

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = lim t → - 4 - ⁡ 5 - 3 t t + 4 t - 1 = 5 - 3 ⋅ ( - 4 ) ( - 4 + 4 ) ( - 4 - 1 ) = 5 + 12 0 ⋅ - 5 = 17 0

Opaaaa! Caímos em um valor com 0 no denominador, sabemos que isso vai dar em infinito, agora só precisamos saber se é o infinito positivo ou o negativo ( + ∞ ou - ∞ ).

Vambora para análise de sinais!

Passo 3

Nossa expressão é essa aqui:

5 - 3 t t + 4 t - 1

A gente pode começar pelo numerador. O que acontece com ele quando t tende a - 4 por valores menores que - 4 , ou seja, pela tende pela esquerda.

t = - 5 → 5 - 3 ⋅ - 5 = 5 + 15 = 20

t = - 4,1 → 5 - 3 ⋅ - 4,1 = 5 + 12,3 = 17,3

t = 4,01 → 5 - 3 ⋅ - 4,01 = 5 + 12,03 = 17,03

Beleza, dá para ver que esse negócio aí tende a 17 e vai dar um número positivo.

E quanto o nosso denominador? O que acontece com ele quando t tende a - 4 pelos valores menores que - 4 :

t = - 5 → - 5 + 4 - 5 - 1 = - 1 ⋅ - 6 = 6

t = - 4,1 → - 4,1 + 4 - 4,1 - 1 = - 0 , 1 ⋅ - 5,1 = 0,51

t = 4,01 → - 4,01 + 4 - 4,01 - 1 = - 0,01 ⋅ - 5,01 = 0,0501

Esse cara aí tá tendendo a zero e dá pra ver que tendo a zero sempre com valores positivos.

Temos então que nosso numerador é positivo e nosso denominador também vai ser positivo.

É isso aí, a nossa análise de sinais acabou! Agora é só fechar!

Passo 4

Sabemos que:

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = l i m t → - 4 - 5 - 3 t t + 4 t - 1 = 17 0

E nosso limite vai para infinito, pois teremos um zero no nosso denominador.

Com a análise, vimos que esse limite vai dar num número positivo, com isso podemos afirmar que nosso limite vai para + ∞ .

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = + ∞

Resposta

lim t → - 4 - ⁡ 2 t 2 + 3 t - 4 - 3 t + 4 = + ∞

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