Enunciado

Ache o limite

underset(x -> 2^-)(lim) (x - 2)/(2 - sqrt(4 x - x^2))

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(x -> 2^-)(lim) (x - 2)/(2 - sqrt(4 x - x^2)) = (2 - 2)/(2 - sqrt(4 (2) - 2^2)) = (0)/(2 - sqrt(8 - 4)) = (0)/(2 - sqrt(4)) = (0)/(0)

Ih, chegamos em um indeterminação. Antes de qualquer coisa temos que tentar tirá-la daí.

Para isso, vamos fazer um algebrismo malandro na fração dentro do limite.

(x - 2)/(2 - sqrt(4 x - x^2))

Vamos começar multiplicando essa fração pelo conjugado do denominador, que é 2 + sqrt(4 x - x^2)

Vamos ter

(x - 2)/(2 - sqrt(4 x - x^2)) * (2 + sqrt(4 x - x^2))/(2 + sqrt(4 x - x^2)) = ((x - 2) (2 + sqrt(4 x - x^2)))/(4 - (4 x - x^2)) = ((x - 2) (2 + sqrt(4 x - x^2)))/(4 - 4 x + x^2)

Passo 2

Agora, temos que fatorar aquele denominador

4 - 4 x + x^2

Isso é um trinômio quadrado perfeito,

(x - 2)^2

Assim, nossa fração vai ficar

((x - 2) (2 + sqrt(4 x - x^2)))/((x - 2)^2)

Simplificando o x - 2

(2 + sqrt(4 x - x^2))/((x - 2))

Passo 3

Vamos substituir agora isso no limite e ver o que temos

underset(x -> 2^+)(lim) (2 + sqrt(4 x - x^2))/((x - 2)) = (2 + sqrt(4 (2) - 2^2))/((- 2)) = (2 + sqrt(8 - 4))/(0) = (2 + sqrt(4))/(0) = (4)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 4

Vamos olhar a fração que temos no limite

(2 + sqrt(4 x - x^2))/((x - 2))

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 2 .

O numerador é uma raiz quadrada mais 2 , a raiz é sempre positiva. Somando 2 vai continuar positivo. Então nosso numerador vai ser positivo.

O denominador vai ser x - 2 , como estamos com valores de x menores que 2 , ele vai ser negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores menores que 2 é negativa. O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja - oo

underset(x -> 2^-)(lim) (x - 2)/(2 - sqrt(4 x - x^2)) = - oo

Resposta

- oo

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