Enunciado

Ache a massa total e o centro de massa.

17. O comprimento da barra é 12 cm e a densidade linear da barra em um ponto é uma função linear da medida da distância ao extremo esquerdo da barra. A densidade linear no extremo esquerdo é 3g/cm e no extremo direito é 4 g/cm.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade é uma função linear, ou seja, ela pode ser esxrita da seguinte forma:

ρ x = a x + b

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

O exercico ainda fornce duas outras informações.

1-a densidade no extremo esquerdo é 3 g/cm. Como o extremo esquedo é a posição zero, podemos escrever da seguinte forma: ρ 0 = 3 .

2-a densidade no extremo direito é 4 g/cm. Como o extremo direito é a ultima posição que a barra ocupa, então é o próprio comprimento da barra. Podemos escrever então: ρ 12 = 4 .

Agora que sabemos essas informações podemos usar um sistems para achar a densidade da barra.

3 = a 0 + b 4 = a 12 + b

b = 3 , logo substituindo na segunda equação:

4 = 12 a + 3

a = 1 12

Com isso temos que a densidade dessa barra é escrita da seguinte forma:

ρ x = 1 12 x + 3

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 12 ( 1 12 x + 3 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 1 24 x 2 + 3 x ] | 12 0  

M t = ( 1 12 ( 12 ) 2 + 3 ( 12 ) ) - ( 0 2 + 0 )

M t = 42 g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 4

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 12 x ( 1 12 x + 3 ) d x 42

x - = ∫ 0 12 ( 1 12 x 2 + 3 x ) d x 42

x - = x 3 36 + 3 x 2 2 | 0 12 4 2

x - = 12 3 36 + 3 12 2 2 4 2

x - = 48 + 216 4 2 = 44 7 c m

Resposta

Massa total: 42 g

Centro de massa : 44 7 c m

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