12. y = 6(raiz[3](x^2)-1) P_0(1, 0) até P_1(2\*raiz(2), 6) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = 6 ( x 2 3 - 1 )

d y d x = 6 ⋅ 1 3 ⋅ 2 x x 2 3 = 4 x - 1 3

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 4 x - 1 3 2

= 1 + 16 x - 2 3

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

x , y = 1 , 0 → ( 2 2 , 6 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 1.

s = ∫ 1 2 2 1 + 16 x 2 3   d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = x 3

3 x 2 3 d u = d x

Assim,

= 3 ∫ u u 2 + 16   d u

Agora, devemos fazer a segunda substituição:

v = u 2 + 16  

1 2 u d v = d u

Portanto,

= 1 2 ∫ v d v

= 1 2 ⋅ 2 v 3 2 3

= v 3 2 3

Substituindo v = u 2 + 16

= u 2 + 16 3 2 3

Substituindo u = x 3

= x 2 3 + 16 3 2

Passo 4

Voltando com os valores de integração inicial, temos

x 2 3 + 16 3 2 1 2 √ 2 =

= 16 + 2 2 - 2 3 3 2 - 17 3 2

= 16 + 1 2 2 2 3 3 2 - 17 17

= 16 + 1 2 3 2 - 17 17

= 4096 + 1 8 1 2 - 17 17

= 18 18 - 17 17

= 54 2 - 17 17

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é 54 2 - 17 17 .

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