Enunciado

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = - s e n   t y = cos ⁡ t   ,   t ∈ [ 0 , 2 π ]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = 2 π .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = - cos ⁡ t

y ' = - s e n   t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 π - cos ⁡ t 2 + - s e n   t 2 d t = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t =

= ∫ 0 2 π 1 d t = t | 2 π 0  

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = ( 2 π - 0 ) = 2 π   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 2 π   u . c

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Ache o comprimento do arco da curva y = 1 3 x ( 3 x - 1 ) do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = 4 .
Calcule o comprimento do segmento de reta y = 3 x do ponto ( 1 ,3 ) ao ponto ( 2 ,6 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.
Use o Teorema 6.3.2 para encontrar o comprimento do arco da curva y 3 = 8 x 2 do ponto ( 1 ,2 ) ao ponto ( 27 ,18 ) .
Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = 1 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 8 ao ponto onde x = 1 .
Ache o comprimento do arco da curva y = 2 3 x - 5 3 / 2 do ponto onde x = 6 ao ponto onde x = 8 .