6. x = 1/3 \* y^3 + 1/(4y), 1 <= y <= 3

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

x = 1 3 y 3 + 1 4 y

d y d x = 1 3 ⋅ 3 y 2 + 1 4 - 1 ⋅ y - 2

= y 2 - 1 4 y 2

= 4 y 4 - 1 4 y 2  

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + 4 y 2 - 1 4 y 2 2

= 1 + 16 y 8 - 8 y 4 + 1 16 y 4  

= 16 y 4 + 16 y 8 - 8 y 4 + 1 16 y 4

= 16 y 8 + 8 y 4 + 1 16 y 4

= 4 y 4 - 1 2 16 y 4

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = ∫ 1 3 4 y 4 - 1 2 16 y 4   d y

= ∫ 1 3 4 y 4 - 1 16 y 4   d y

= ∫ 1 3 y 2 - 1 4 y 2   d y

= y 3 3 - 1 4 y 1 3

= 3 3 - 1 3 - 1 12 + 1 4

= 53 6

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  53 6 .

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