Ache os números críticos da função dada.

f(x) = tan^2(4x)

Passo 1

A questão pede para acharmos os números críticos da função. É importante lembrar que os pontos críticos de uma função são os pontos do domínio da função em que f ' x = 0 ou que f ' não existe. Assim, basta derivar a função e depois procurar os pontos críticos!

Vamos lembrar que tan ⁡ x = s e n   x / cos ⁡ x . Assim, os pontos em que cos ⁡ 4 x = 0 não estão no domínio de f . Dessa forma, se algum dos candidatos a número crítico for tal que cos ⁡ 4 x = 0 , eles não devem ser considerados. Tomando a derivada:

f ' x = 2 tan ⁡ 4 x ⋅ tan ⁡ 4 x ' = 8 tan ⁡ 4 x ⋅ sec 2 ⁡ 4 x

Como sec ⁡ x = 1 / cos ⁡ x , temos que

f ' x = 8   s e n   4 x cos 3 ⁡ 4 x

Os pontos em f ' não está definida são os pontos que cos ⁡ 4 x = 0 e, como visto que eles não estão no domínio de f , não podemos considerá-los pontos críticos!

Passo 2

Agora, fazendo f ' x = 0 obtemos

s e n   4 x = 0

Assim,

4 x = 0 + n π ,       n ∈ Z

Portanto, os números críticos de f serão

x = n π 4 ,       n ∈ Z

Resposta

x = n π 4 ,       n ∈ Z

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