Enunciado

Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado

f t = t 3 8 - t ,     0,8

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui necessitamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função dada no intervalo dado.

Iremos avaliar o valor de f ( x ) em cada um dos pontos críticos e também nos pontos extremos. Entre estes, o valor máximo de f ( x ) é o máximo absoluto. E, o valor mínimo de f ( x ) é o mínimo absoluto. Note que haverá apenas um máximo absoluto e um mínimo absoluto. Além disso, observe que tudo isso é verdade apenas quando os intervalos são fechados.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos. Os pontos críticos de f ( t ) são os valores de t nos quais f ' ( t ) não existe, ou, se existir, é igual a zero.

Então

f t = 8 t 1 3 - t 4 3

f ' t = 8 3 t - 2 3 - 4 3 t 1 3

f ' t = 4 3 t - 2 3 ⋅ 2 - t

f ' t = 4 ⋅ 2 - t 3 t 2 3

Igualando a zero

4 ⋅ 2 - t 3 t 2 3 = 0

No numerador

4 2 - t = 0

2 - t = 0

t = 2

Se o denominador for igual a zero, teremos que f ' ( x ) não estará definido, então também teremos um número crítico, logo, igualando o denominador a zero, ficamos com

3 t 2 3 = 0

t 2 3 = 0

t 2 = 0

t = 0

Passo 3

Aplicando o método do intervalo fechado, necessitamos calcular f 0 ,   f 2   e   f 8 , então

f 0 = 0

f 2 = 6 2 3

f 8 = 0

Com isso, podemos ver que f 2 = 6 2 3 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = f 8 = 0 são os pontos de mínimo absoluto.

Resposta

f 2 = 6 2 3 é um ponto de máximo absoluto e f 0 = f 8 = 0 são os pontos de mínimo absoluto.

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