Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (2) d y d t = 6 - 3 x ² .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essa equação com diferenciais, temos

d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = 6 - 3 x ² d y = 6 - 3 x ² d x ∫ d y = ∫ 6 - 3 x ² d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ d y = ∫ 6 - 3 x ² d x y + K 1 = 6 x - 3 x 3 3 + K 2 y = 6 x - x ³ + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 6 x - x ³ + K

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É mostrado um campo de direções para a equação diferencial: y ' = y 1 - 1 4 y 2 Esboce os gráficos das soluções que satisfazem às condições iniciais dadas. iy 0 = 1 i i y 0 =- 3 i i iy 0 =- 1 i vy 0 =
Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s e n ( x ) ? y = s e n ( x ) y = c o s ⁡ ( x ) y = 1 2 x s e n ( x ) y = - 1 2 x c o s ( x )
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. x 3 y ( 4 ) - x 2 y ' ' + 4 x y ' - 3 y = 0
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. d 2 y d x 2 + 9 y = sen ⁡ y
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação. x 2 d y + y - x y - x e x d x = 0