Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (9) d y d x = s e c 2 x t g ² y .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = s e c 2 x t g ² y t g 2 y d y = s e c 2 x d x ∫ t g 2 y d y = ∫ s e c 2 x d x

Passo 2

Para resolvermos essas integrais, precisamos antes fazer uma transformação trigonométrica do lado esquerdo da igualdade. Sabemos lá da trigonometria que existe a seguinte relação t g 2 x = s e c 2 x - 1 . Logo, vamos substituir na integral esses valores.

∫ s e c 2 y - 1 d y = ∫ s e c 2 x d x ∫ s e c 2 y d y - ∫ 1 d y = ∫ s e c ² x d x t g y - y +   K 1 = t g x + K 2 t g y - y = t g x + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

t g y - y = t g x + K

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Nos problemas 1-4, classifique a equação dada quanto ao tipo e à ordem. Classifique as equações diferenciais ordinárias quanto à linearidade. x 2 d ² y d x ² - 3 x d y d x + y = x ² ² ² ²
Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y " + y = s i n ⁡x ? y = sin ⁡ x y = cos ⁡ x y = 1 2 x sin ⁡ x y = - 1 2 x cos ⁡ x
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - e t y = t + e - t
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = 4 + t 2 y = t 2 + t 3
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t 3 - 12 t y = t 2 - 1