Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (5) d y d x = 3 x y ² .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x f ( y ) , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

f ( y ) d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = 3 x y ² d y y 2 = 3 x d x ∫ d y y 2 = ∫ 3 x d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ y - 2 d y = ∫ 3 x d x - y - 1 + K 1 = 3 x 2 2 + K 2 2 1 y = 3 x 2 + K 2 y = 2 3 x 2 + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = 2 3 x 2 + K

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