Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais (15) d y d x = x 2 - 2 x - 4 ; y = - 6   q u a n d o   x = 3 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d x = f x , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essaequação com diferenciais, temos

d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = x 2 - 2 x - 4 d y = x 2 - 2 x - 4 d x ∫ d y = ∫ ( x 2 - 2 x - 4 ) d x

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d y = ∫ x 2 - 2 x - 4 d x y ( x ) = x 3 3 - 2 x 2 2 - 4 x + K y ( x ) = x 3 3 - x 2 - 4 x + K

Passo 3

Aplicando as condições inicias na equação encontrada temos:

y 3 = - 6 y 3 = 3 3 3 - 3 3 - 4 * 3 + K = - 6 9 - 9 - 12 + K = - 6 K = - 6 + 12 K = 6

Portanto,

y x = x 3 3 - x 2 - 4 x + 6

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y x = x 3 3 - x 2 - 4 x + 6

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