Enunciado

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

13. x c o s x = 2 y + e 3 y y '             y 0 = 0

Passo 1

Queremos resolver a equação x c o s x = 2 y + e 3 y y ' ,     se conseguirmos deixar de um lado termos com somente x e do outro termos com somente y podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar y , dessa forma:

x c o s x = 2 y + e 3 y y '            

x c o s x = 2 y + e 3 y d y d x              

2 y + e 3 y d y = x c o s x   d x

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de y e do lado direito em função de x , assim:

∫ 2 y + e 3 y d y = ∫ x c o s x   d x  

Para a integral do lado direito vamos utilizar o método da integração por partes, relembrando: ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Nesse caso chamaremos u = x     e c o s x   d x = d v . Então   d u = d x e s e n x = v , usando a fórmula da integração por partes ficamos com

y 2 + e 3 y 3 = x s e n x - ∫ s e n x   d x

y 2 + e 3 y 3 = x s e n x + c o s x + C

Nunca esqueça de que em uma integral indefinida sempre temos uma constante C .

Passo 3

Agora precisamos aplicar o problema de valor inicial para chegar a nossa resposta final.

y 0 = 0

Isso quer dizer que quando temos x = 0 , nosso y = 0 .Vamos substituir esses números na equação que encontramos:

0 2 + e 0 3 = 0 s e n 0 + c o s 0 + C

1 3 = 1 + C

C =   - 2 3

Portanto, a solução que estávamos procurando é:

y 2 + e 3 y 3 = x s e n x + c o s x - 2 3

Resposta

13.     y 2 + e 3 y 3 = x s e n x + c o s x - 2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. x y ' = ( 1 - y 2 ) 1 / 2
Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. d y d x = x 2 1 +y 2
Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. d y d x = x - e - x y + e y
Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. y ' +y 2 s e nx = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. y ' = ( 3 x 2 - 1 ) 3 + 2 y